Am dat recent peste cea mai interesantă demonstraţie (teoria mulţimilor lui Georg Cantor), ciudat - neprezentată în liceu, deşi a ajuns fundamentală în matematică. Voi încerca să o redau în limbajul meu, sau ce-mi amintesc de acolo.
Ea a ajutat foarte mult la înţelegerea conceptului de infinit, infirmînd legea a cincea a lui Euclid - anume că întregul este mai mare decât partea. Acesta a demonstrat că un infinit are o infinitate de infininturi printr-o demonstraţie genial de simplă:
O mulţime Cantor este o mulţime rară definită astfel: toate numerele dintr-un interval (considerăm (0,1) ) scrise în baza 3, dar fără cifra 1: adică toate formate cu cifrele 0 şi 2, exemplu 0.020220200002... . Din start, considerând că o treime din numerele in intervalul (0,1) incep 0.0..., o treime 0.1... si alta 0.2..., e evident că mulţimea Cantor nu conţine toate numerele din interval.
Considerăm atunci acelaşi interval (0,1) şi toate numerele scrise în baza 2 (adică din cifrele 0 şi 1), care include întreg intervalul, de exemplu 0.010110100001...
Observăm că există o corespondenţă 1 la 1 între cele două; dacă la cea de-a doua înlocuim cifra 1 cu 2 dăm de exact mulţimea Cantor. Problem... tocmai am echivalat 1 la 1 un interval întreg cu o parte a lui care ştim că nu e completă.
Nice, huh? Singura demonstraţie legată de infinint din liceu pe care mi-o amintesc e că 0.(9)=1 : Dacă x=0.(9), 10x=9.(9), 10x-x=9.(9)-0.(9), 9x=9, ghici cât e x.
Cantor parcă a înnebunit de tînăr. Motiv destul de serios pentru mine a nu căuta demonstraţii care să dea matematica peste cap.
No comments:
Post a Comment
Note: only a member of this blog may post a comment.